Laplace transformation method on the basis of pulse wave form in a laser flash method

ABSTRACT

〔method No.1:cooling time constant method〕
1. The cooling region of the experimental curve is fitted by an exponential curve and the cooling time constant τ is calculated. In this region, first term of eq.(1) must be dominant and other terms are negligible.
2. Biot number h is obtained using eq.(6).
3. Experimental temperature and pulse data are transformed using eq.(4)-(5).
4. Thermal diffusivity α is determined by seek- ing the minimum of the least-squares function eq.(7) or (8). 5. α and h are determined by iteration of 2.and 4.

〔method No.2:direct method〕
1. Experimental temperature and pulse data are transformed using eq.(4)-(5).
2. Thermal diffusivity α and biot number h are determined by seeking the minimum of the least-squares function eq.(9) or (10).
Theoretical data were obtained using eq.(1)-(2) in order to confirm these methods. Pulse wave form is saw tooth of 1 ms duration (pulse width :t_ｐｗ) and sampling period is 1 μs. Samp-le data are as follows.〔α: 1.0×10^-4 m^２/s, L:0.497〜2.433 mm, t_０: 0.25〜6.00ms (t_０=L_２/(π<>２α)),h: 0.01 〜0.80, t_ｓ(sampling period): 2.0 〜 10.0μs〕
Fig.1 shows the errors of α and h using eq.(7). The errors of α and h are almost the same that each point overlaps. The present method shows the error less than 1% for all data. On the other hand, the method of center of gravityshows that the errors of α and h increase as the characteristic time/pulse width t_０/t_ｐｗ dec-reases especially less than 3. Similar results are given in the case of other biot number and also using eq.(8).
Fig.2 shows the relation be-tween pt_ｍｉｎ and errors of α and h using data(α=1.0×10^-4 m^２/s,h=0.01,t_０=6.00ms).Pt_ｍｉｎ in the range of 7 〜323 gives α and h less than 1% accuracy.
Fig.3 shows the result of α and h accuracy using eq.(9)-(10). Similar results aregiven for other biot number data. Fig.4 shows the relation between the amount of data and the accuracies of α and h. The amount of data is set by t_０×m/t_ｓ + n_０(m:integer, n_０:number of 0 data). In this case,the α accuracy is less than 1% for m ≧ 2.

NOMENCLATURE ｔ : time
Ｌ : thickness of a specimen
α : thermal diffusivity of a specimen
ｈ : biot number of a specimen
τ : cooling time constant of a specimen
ｔ_０ : characteristic time of a specimen
Ｔ(ｔ) : temperature rise of rear surface of a specimen
Ｔ_M : maximum Ｔ(ｔ) without heat losses
ｐ : laplace transformation variable
ｆ(t) : normalized pulse wave form

レーザフラッシュ法におけるパルス波形を考慮したラプラス空間解析法

１．緒言

レーザフラッシュ法におけるパルス波形に関する取扱いは、主としてパルスの重心位置に全エネルギーが集中していると近似した解析である。またラプラス空間における解析法で、熱放射損失が無い場合についてパルス波形を考慮した解析法が報告１）されている。特性時間がパルス幅に比較して小さい試料ではパルス重心近似が成立せず、また熱放射損失を考慮しないと熱拡散率を精度良く解析することはできない。本研究では、以上の問題を解決するためにラプラス空間において熱放射損失およびパルス波形を共に考慮した解析法を検討した。本検討においては次の条件を仮定し、一次元熱伝導が成立するものとした。
　　（１）パルス光源は、試料表面を均一に加熱する。
　　（２）試料は均質であり、測定中熱拡散率は一定である。
　　（３）試料からの熱損失は表面温度に比例し、試料表裏面のビオー数は等しい。

２．一次元熱伝導方程式の理論解

ここにβｎは固有値であり次式で与えられる。

３．測定データのラプラス変換

ここにｔ_ｄａｔａは測定データの取り込み時間である。温度データとパルスデータではこのｔ_ｄａｔａが一般に異なるが、温度データの方が通常大きいので温度データのｔｄａｔａを共通に用いて両データのラプラス変換変数Pを次式に従って設定する。ここでｐｔ_ｍｉｎ、ｐｔ_ｍａｘは、Pｔ_ｄａｔａの最小値、最大値であり、この範囲内にｎ個のラプラス変数を設定する。

Pｔ_ｄａｔａ＝ｐｔ_ｍｉｎ＋（ｐｔ_ｍａｘ−ｐｔ_ｍｉｎ）*ｉ／（ｎ−１） ｉ＝０．．．ｎ−１ （５）

　ラプラス空間における解析法として次の２つの方法を採用した。

（１）時定数よりビオー数を決める方法（時定数法）
�@パルス重心位置より最高温度上昇の１／２に達する時間ｔ_１／２より、熱拡散率初期値α₀を求める。 �Aこの熱伝導現象の特性時間ｔ₀としてｔ》ｔ₀ を満たし（１）式の第１項のみの近似が成立する時間領域　において時定数を計算するために、熱拡散率初期値α₀をもとに特性時間ｔ₀を計算し、ｋ_１＜ｋ₂なる　定数を設定し、パルス重心位置を時間原点としてｔ₀×ｋ₁〜ｔ₀×ｋ₂の区間で時定数τを計算する。　ただし、時間原点は、パルス重心位置とする。 �Bビオー数初期値は、熱拡散率初期値α０および時定数τを用いて（１）、（２）式より導かれる次式に従　い計算する。 　　β０^２＝Ｌ^２／（α_０τ），ｈ_０＝β_０［１／ｓｉｎ（β_０）−１／ｔａｎ（β_０）］ 　　　（６） �C温度およびパルスの測定データを（４）、（５）式に従ってラプラス変換する。この際時間の原点は、　パルス波形の立ち上がりより前に取る。
�Dパルス波形をラプラス変換したｆ（P_j）を（３）式のラプラス空間理論式に入れ、この理論温度と測定　温度を用いて二乗偏差Ｒを計算する。この二乗偏差として次の２式を試みた。δＲ／δＴβ_M＝０より導か　れる式を（７）、（８）式に代入した二乗偏差を以下で使用する。
Ｒ＝Σ（Ｔ_MＴ_j−Ｅ_j）^２ （７）
Ｒ＝Σ〔ＬＮ（Ｔ_MＴ_j）−ＬＮ（Ｅ_j）〕^２ （８）
�E熱拡散率およびビオー数初期値をもとにδＲ／δα＝０を満足する熱拡散率をニュートン法で計算する。
�F微少値をε、ニュートン法による熱拡散率増分を△αとして｜△α｜／α＜εを判定し、成立すれば計　算終了、不成立のときは�Eで求めた熱拡散率を新しい初期値として�B、�Eの繰り返し計算を行う。

（２）二乗偏差の極小値を直接求める方法（直接法）
�@パルス重心位置より最高温度上昇の１／２に達する時間ｔ_１／２より、熱拡散率初期値α０を求める。
�A温度およびパルスの測定データを（４）、（５）式に従ってラプラス変換する。この際時間の原点は、　パルス波形の立ち上がりより前に取る。
�Bパルス波形をラプラス変換したｆ（Pｊ）を（３）式のラプラス空間理論式に入れ、この理論温度と測定　温度を用いて自乗偏差Ｒを計算する。この二乗偏差として次の２式を試みた。δＲ／δＴＭ＝０より導　　かれる式を（９）、（１０）式に代入した二乗偏差を以下で使用する。
Ｒ＝Σ（ＴＭＴｊ−Ｅｊ）^２ （９）
Ｒ＝Σ〔１／（ＴＭＴｊ）−１／（Ｅｊ）〕^２ （１０）
�Cビオー数初期値を複数個設定し、熱拡散率初期値をもとにδＲ／δα＝０を満足する熱拡散率を求める。
�D複数のビオー数とそのビオー数に対応した熱拡散率を用いて二乗偏差Ｒをそれぞれ計算する。
�E二乗偏差Ｒを最小値とする熱拡散率およびビオー数が求めるものである。ここで判定は、ビオー数間隔　△ｈが微少値εに対し△ｈ＜εを満足するとき計算終了、不成立のときは二乗偏差Ｒを小さくする方向　に新たなビオー数（△ｈnew≦△ｈold）を設定し、�C、�Dの繰り返し計算を行う。

４．検討に用いた理論データ

５．検討結果

（２）時定数法におけるラプラス変数の設定
熱拡散率、ビオー数の計算精度はラプラス変数（ｐｔ_ｍｉｎ，ｐｔ_ｍａｘ，ｎ）の取り方に依存する。熱拡散率α＝１．０×１０^−４（ｍ²／ｓ）、ビオー数ｈ＝０．０１、特性時間ｔ０＝６．００ｍｓ（Ｌ＝２．４３３ｍｍ）のデータを用いてｐｔ_ｍｉｎと熱拡散率およびビオー数の計算精度の関係を求めＦig．２に示す。このデータの場合、７＜ｐｔ_ｍｉｎ＜３２３の範囲で熱拡散率およびビオー数を１％より良い精度で計算することができた。ｐｔ_ｍａｘおよびｎについては計算精度との相関が弱く、ｐｔ_ｍａｘはｐｔ_ｍｉｎ＋（２〜４）程度に、ｎは２〜５程度に取れば良い。他のデータについてもほぼ同様の結果であった。δ関数形のパルス波形近似をする場合、ｐｔ_ｍｉｎの設定範囲は１０以下と狭い。

（３）直接法による熱拡散率とビオー数の計算精度
ビオー数が０．１０のデータで（９）、（１０）式の二乗偏差を用いた場合の解析結果をＦig.３に示す。解析条件は、ラプラス変換変数をｐｔ_ｍｉｎ＝１３，ｐｔ_ｍａｘ＝１６，ｎ＝５とした。本解析法により熱拡散率およびビオー数を１％より良い精度で求めることができた。ビオー数は熱拡散率よりも精度が悪く、ビオー数が大きいデータほどビオー数を精度良く計算できた。他のビオー数のデータについてもほぼ同様の結果であった。

（４）直接法におけるデータ量と熱拡散率とビオー数の計算精度
この解析方法は時定数を必要としないため、より少ないデータ量で解析が可能である。 熱拡散率α＝１．０×１０_−４（ｍ^２／ｓ）、ビオー数ｈ＝０．１０、特性時間ｔ0＝６．００ｍｓ（Ｌ＝２．４３３ｍｍ）のデータを用いてデータ量を変えて計算精度を確認した。パルス波形の立ち上がりを時間の原点として特性時間の整数倍ｍのデータ量を取り込み、熱拡散率とビオー数を解析した結果をＦig.４に示す。ラプラス変換変数は、（９）式でｐｔｍｉｎ＝１５，ｐｔ_ｍａｘ＝１８，ｎ＝５、（１０）式でｐｔ_ｍｉｎ＝１１，ｐｔ_ｍａｘ＝１４，ｎ＝５とした。このデータの場合、特性時間の２倍のデータ量でも１％より良い精度で熱拡散率を解析することができた。特性時間／パルス幅が小さくなるほど熱拡散率を１％より良く解析するのに必要となるデータ量ｍが増加する傾向にある。

６．まとめ

References